Teorema de probabilitats totals

El Teorema de probabilitats totals ^[1] afirma el següent:

Considerem un espai de probabilitats ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ i sigui ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n},\dots }$ una partició (finita o infinit numerable) de ${\displaystyle \Omega }$ en esdeveniments que tenen probabilitat diferent de zero:

1. ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n}A_{n}.}$
2. ${\displaystyle {\text{Per tot }}n,\ A_{n}\in {\mathcal {A}}.}$
3. Si ${\displaystyle n\neq m}$, ${\displaystyle A_{n}\cap A_{m}=\emptyset }$
4. ${\displaystyle {\text{Per tot }}n,\ \mathbb {P} (A_{n})>0.}$

Sigui ${\displaystyle B}$ un esdeveniment qualsevol. Aleshores,

$${\displaystyle \mathbb {P} (B)=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}),}$$on ${\displaystyle \mathbb {P} (B\,|\,A_{n})}$ és la probabilitat de ${\displaystyle B}$ condicionada per ${\displaystyle A_{n}}$.